Question

7．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b=2，且cos2B+cosB+cos（A-C）=1，则a+2c的最小值为$4\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 利用二倍角公式以及两角和与差的三角函数，结合正弦定理以及基本不等式求解即可．

解答 解：由cos2B+cosB+cos（A-C）=1
⇒1-2sin²B+cosB+cosAcosC+sinAsinC=1
⇒1-2sin²B-cosAcosC+sinAsinC+cosAcosC+sinAsinC=1
⇒sinAsinC=sin²B，
由正弦定理得到ac=b²，
而$a+2c≥2\sqrt{2ac}=2b\sqrt{2}$，
由b=2，可得${（{a+2c}）_{min}}=4\sqrt{2}$．
故答案为：$4\sqrt{2}$．

点评 本题考查两角和与差的三角函数，正弦定理基本不等式的应用，考查分析问题解决问题的能力．