Question

19．在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知2acosA=ccosB+bcosC．
（Ⅰ）求cosA的值；
（Ⅱ）若a=1，cos²$\frac{B}{2}$+cos²$\frac{C}{2}$=1+$\frac{\sqrt{3}}{4}$，求边c的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由正弦定理得2sinAcosA=sin（B+C），从而2sinAcosA=sinA，由此能求出cosA的值．
（Ⅱ）求出$A=\frac{π}{3}$，从而$sin（{B+\frac{π}{6}}）=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．进而$B=\frac{π}{6}$，或$B=\frac{π}{2}$．由此能求出结果．

解答 （本题满分12分）
解：（Ⅰ）由已知及正弦定理得2sinAcosA=sinCcosB+sinBcosC
即2sinAcosA=sin（B+C）
又B+C=π-A，所以有2sinAcosA=sin（π-A），
即2sinAcosA=sinA．而sinA≠0，
所以$cosA=\frac{1}{2}$．
（Ⅱ）由$cosA=\frac{1}{2}$及0＜A＜π，得$A=\frac{π}{3}$，
因此$B+C=π-A=\frac{2π}{3}$．
由条件得$\frac{1+cosB}{2}+\frac{1+cosC}{2}=1+\frac{{\sqrt{3}}}{4}$，
即$cosB+cosC=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，得$cosB+cos（{\frac{2π}{3}-B}）=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
得$sin（{B+\frac{π}{6}}）=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
由$A=\frac{π}{3}$，知$B+\frac{π}{6}∈（{\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}}）$．
于是$B+\frac{π}{6}=\frac{π}{3}$，或$B+\frac{π}{6}=\frac{2π}{3}$．
所以$B=\frac{π}{6}$，或$B=\frac{π}{2}$．
若$B=\frac{π}{6}$，则$C=\frac{π}{2}$．
在直角△ABC中，$sin\frac{π}{3}=\frac{1}{c}$，解得$c=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$；
若$B=\frac{π}{2}$，在直角△ABC中，$tan\frac{π}{3}=\frac{1}{c}$，
解得$c=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．
因此$c=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$或$c=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．

点评 本题考查角的余弦值、正弦定理、余弦定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．