题目内容

7．如图，将边长为2的正△ABC沿着高AD折起，使∠BDC=60°，若折起后A、B、C、D四点都在球O的表面上，则球O的表面积为（　　）
A．$\frac{13}{2}π$B．$\frac{13}{3}π$C．$\frac{{13\sqrt{3}}}{2}π$D．$\frac{{13\sqrt{3}}}{3}π$

分析 通过底面三角形BCD求出底面圆的半径DM，判断球心到底面圆的距离OD，求出球O的半径，即可求解球O的表面积．

解答 解：△BCD中，BD=1，CD=1，∠BDC=60°，
底面三角形的底面圆半径为：DM=CM=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
AD是球的弦，DA=$\sqrt{3}$，∴OM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴球的半径OD=$\sqrt{\frac{1}{3}+\frac{3}{4}}$=$\sqrt{\frac{13}{12}}$．
该球的表面积为：4π×OD2=$\frac{13}{3}$π；
故选：B．

点评 本题考查球的表面积的求法，球的内接体，考查空间想象能力以及计算能力．

练习册系列答案
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17．下列说法中，正确的有④⑤．（写出所有正确说法的序号）
①已知关于x的不等式mx2+mx+2＞0的角集为R，则实数m的取值范围是0＜m＜4．
②已知等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn、S2n-Sn、S3n-S2n也构成等比数列．
③已知函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}1+{log_a}（{x+1}），x≥0\\{x^2}+（{4a-3}）x+3a，x＜0\end{array}\right.$（其中a＞0且a≠1）在R上单调递减，且关于x的方程$|{f（x）}|=2-\frac{x}{3}$恰有两个不相等的实数解，则$\frac{1}{3}≤x≤\frac{3}{4}$．
④已知a＞0，b＞-1，且a+b=1，则$\frac{{a}^{2}+2}{a}$+$\frac{{b}^{2}}{b+1}$的最小值为$\frac{{3+2\sqrt{2}}}{2}$．
⑤在平面直角坐标系中，O为坐标原点，|$\overrightarrow{OB}$|=|$\overrightarrow{OC}$|=|$\overrightarrow{OD}$|=1，$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$+$\overrightarrow{OD}$=$\overrightarrow{0}$，A（1，1），则$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{OB}$的取值范围是$[{-\frac{1}{2}-\sqrt{2}，-\frac{1}{2}+\sqrt{2}}]$．
18．已知函数f（x）=x2+bx+c的顶点为（1，-1）．
（1）解不等式|f（-x）|+|f（x）|≥4|x|；
（2）若实数a满足$|x-a|＜\frac{1}{2}$，求证：$|f（x）-f（a）|＜|a|+\frac{5}{4}$．
15．已知a＞0且a≠1，则logab＞0是（a-1）（b-1）＞0的（　　）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．定义函数max$\left\{{f（x），g（x）}\right\}=\left\{{\begin{array}{l}{f（x）（{f（x）≥g（x）}）}\\{g（x）（{f（x）＜g（x）}）}\end{array}}$，则max{sinx，cosx}的最小值为（　　）
A．$-\sqrt{2}$B．$\sqrt{2}$C．$-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$D．$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
12．已知函数$f（x）=sinx•sin（{x+\frac{π}{6}}）$．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a、b、c，且$f（A）=\frac{{\sqrt{3}}}{4}，a=2$，求△ABC的最大面积．
19．在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知2acosA=ccosB+bcosC．
（Ⅰ）求cosA的值；
（Ⅱ）若a=1，cos2$\frac{B}{2}$+cos2$\frac{C}{2}$=1+$\frac{\sqrt{3}}{4}$，求边c的值．
16．直线y=4x与曲线y=4x2在第一象限围成的封闭图形的图形的面积为$\frac{2}{3}$．
17．函数$f（x）=lnx-2\sqrt{x}$的最大值为-2．

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