Question

已知曲线C的方程：x²+y²-2x+4y+k=0
（1）若方程表示圆，求k的取值范围；
（2）当k=-4时，是否存在斜率为1的直线m，使m被圆C截得的弦为AB，且以AB为直径的圆过原点．若存在，求出直线m的方程； 若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆相交的性质

专题：直线与圆

分析：（1）由已知得（-2）²+4²-4k＞0，由此能求出k的取值范围．
（2）直线m方程为y=x+b根据题意，直线与圆两交点分别与原点连线相互垂直，由此能求出直线m的方程．

解答： 解：（1）∵曲线C的方程：x²+y²-2x+4y+k=0表求圆，
∴（-2）²+4²-4k＞0，
解得k＜5．
∴k的取值范围是（-∞，5）．
（2）直线m方程为y=x+b
根据题意，直线与圆两交点分别与原点连线相互垂直
把y=x+b代入x²+y²-2x+4y-4=0，得：
2x²+2（b+1）x+（b²+4b-4）=0
2y²-2（b-3）y+（b²+2b-4）=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁x₂=b²+4b-4，y₁y₂=b²+2b-4，

y1

x1

•

y2

x2

=-1，

b2+2b-4

b2+4b-4

=-1，
解得b=-4，或b=1，
∴直线m的方程为y=x-4或y=x+1．

点评：本题考查实数的取值范围的求法，考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意圆的性质和直线与圆的位置关系的合理运用．