Question

设函数f（x）=sin（2x+

π

6

）-cos²x-

1

2

cos2x+

1

2

（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和在区间[0，

π

2

]上的取值范围；
（Ⅱ）△ABC中，设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（B）=1，a+c=4，求b的取值范围．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）f（x）解析式利用两角和与差的正弦函数化简，第二项利用二倍角的余弦函数公式化简，整理为一个角的正弦函数，找出ω的值代入周期公式即可求出函数f（x）的最小正周期，根据x的范围确定出这个角的范围，利用正弦函数的值域即可确定出f（x）的值域；
（Ⅱ）根据f（B）=1，确定出B的度数，利用余弦定理表示出cosB，将B度数及a+c的值代入，并利用基本不等式求出b的范围即可．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=sin（2x+

π

6

）-

1+cos2x

2

-

1

2

cos2x+

1

2

=

3

2

sin2x+

1

2

cos2x-cos2x=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x=sin（2x-

π

6

），
∵ω=2，∴T=π，
∵x∈[0，

π

2

]，
∴2x-

π

6

∈[-

1

2

，1]，
则f（x）在区间[0，

π

2

]上的取值范围是[-

1

2

，1]；
（Ⅱ）f（B）=sin（2B-

π

6

）=1，
由0＜B＜π，得-

π

6

＜2B-

π

6

＜

11π

6

，
∴2B-

π

6

=

π

2

，即B=

π

3

，
由余弦定理得：cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

1

2

，
∴b²=a²+c²+ac=（a+c）²-ac=16-ac，
又ac≤（

a+c

2

）²=4，
∴b²=16-ac≥12，即b≥2

3

，
则b的范围为：[2

3

，4]．

点评：此题考查了余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．