Question

11．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知acosB-c=$\frac{b}{2}$．
（1）求角A的大小；
（2）若b-c=$\sqrt{6}$，a=3+$\sqrt{3}$，求BC边上的高．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 由正弦定理及三角函数恒等变换化简已知等式可得cosAsinB=$\frac{1}{2}$sinB，由sinB≠0，解得cosA，结合A的范围即可得解．
（Ⅱ）由余弦定理可解得：$bc=2+2\sqrt{3}$，设BC边上的高为h，由${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{1}{2}ah$，即可解得h的值．

解答 （本题满分为15分）
解：（Ⅰ）由$acosB-c=\frac{b}{2}$及正弦定理可得：$sinAcosB-sinC=\frac{sinB}{2}$，…（2分）
因为sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，
所以$\frac{sinB}{2}+cosAsinB=0$，…（4分）
因为sinB≠0，所以$cosA=-\frac{1}{2}$，…（6分）
因为0＜A＜π，所以$A=\frac{2π}{3}$．…（7分）
（Ⅱ）由余弦定理可知：${a^2}={b^2}+{c^2}-2bccos\frac{2π}{3}={b^2}+{c^2}+bc$，…（8分）
所以：${（3+\sqrt{3}）^2}={b^2}+{c^2}+bc={（b-c）^2}+3bc=6+3bc$，
解得：$bc=2+2\sqrt{3}$． …（10分）
设BC边上的高为h，由${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{1}{2}ah$，…（12分）
得：$\frac{1}{2}（2+2\sqrt{3}）sin\frac{2π}{3}=\frac{1}{2}（3+\sqrt{3}）h$，…（13分）
解得：h=1．  …（15分）

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式等知识在解三角形中的应用，属于基本知识的考查．