Question

椭圆的中心是原点O，它的短轴长为2

2

，椭圆与双曲线

x2

3

-y²=1有共同的焦点．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点A（3，0）的直线与椭圆相交于不同的P、Q两点，求该直线斜率k的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由题意，可设椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

2

=1(a＞

2

)．由双曲线

x2

3

-y²=1可得c=2．由已知得

a2-c2=2 c=2

，解出即可．
（2）由题意可得A（3，0）．设直线PQ的方程为y=k（x-3）．与椭圆的方程联立化为（3k²+1）x²-18k²x+27k²-6=0．由△＞0解出即可．

解答： 解：（1）由题意，可设椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

2

=1(a＞

2

)．
由双曲线

x2

3

-y²=1可得c²=3+1=4，解得c=2．
由已知得

a2-c2=2 c=2

，解得a=

6

，c=2．
∴椭圆的方程为

x2

6

+

y2

2

=1．
（2）由题意可得A（3，0）．设直线PQ的方程为y=k（x-3）．
联立

y=k(x-3) x2+3y2=6

，化为（3k²+1）x²-18k²x+27k²-6=0．
依题意△=324k²-4（3k²+1）（27k²-6）＞0，得-

6

3

＜k＜

6

3

．

点评：本题考查了椭圆与双曲线的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得△＞0，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．