Question

12．已知数列{a_n}的前n项和S_n，点（n，$\frac{{S}_{n}}{n}$）在直线y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$上．数列{b_n}满足b_n+2-2b_n+1+b_n=0（n∈N^*），且b₃=5，其前9项和为63．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）设c_n=$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$+$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$，求数列{c_n}的前n项和为T_n．

Answer 1

分析 （1）由点（n，$\frac{{S}_{n}}{n}$）在直线y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$上，可得：$\frac{{S}_{n}}{n}$=$\frac{1}{2}n+\frac{1}{2}$，即S_n=$\frac{1}{2}{n}^{2}+\frac{1}{2}n$．利用递推关系可得：a_n=n．数列{b_n}满足b_n+2-2b_n+1+b_n=0（n∈N^*），可得b_n+2+b_n=2b_n+1，利用等差数列的通项公式即可得出b_n．
（2）由（1）可得：c_n=2+$\frac{2}{n}$-$\frac{2}{n+2}$，再利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：（1）∵点（n，$\frac{{S}_{n}}{n}$）在直线y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$上，∴$\frac{{S}_{n}}{n}$=$\frac{1}{2}n+\frac{1}{2}$，可得S_n=$\frac{1}{2}{n}^{2}+\frac{1}{2}n$．
∴n=1时，a₁=S₁=1；n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{2}{n}^{2}+\frac{1}{2}n$-$[\frac{1}{2}（n-1）^{2}+\frac{1}{2}（n-1）]$=n．
当n=1时也成立，∴a_n=n．
∵数列{b_n}满足b_n+2-2b_n+1+b_n=0（n∈N^*），∴b_n+2+b_n=2b_n+1，
∴数列{b_n}是等差数列，是公差为d．
∵b₃=5，其前9项和为63．
∴b₁+2d=5，9b₁+$\frac{9×8}{2}$d=63，
解得b₁=3，d=1．
∴b_n=3+（n-1）=n+2．
（2）c_n=$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$+$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{n}{n+2}$+$\frac{n+2}{n}$=2+$\frac{2}{n}$-$\frac{2}{n+2}$，
∴数列{c_n}的前n项和T_n=2n+$（2-\frac{2}{3}）$+$（1-\frac{2}{4}）$+$（\frac{2}{3}-\frac{2}{5}）$+…+$（\frac{2}{n-1}-\frac{2}{n+1}）$+$（\frac{2}{n}-\frac{2}{n+2}）$=2n+3-$\frac{2}{n+1}$-$\frac{2}{n+2}$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式、“裂项求和”方法、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．