Question

15．已知函数f（x）=sin（x+$\frac{π}{4}$）cosx．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）若f（α）=$\frac{3\sqrt{2}}{8}$，求sin4α的值．

Answer 1

分析 （1）由两角和的正弦公式、二倍角的正弦公式化简解析式，由正弦函数的增区间求出f（x）的增区间；
（2）由（1）化简f（α）=$\frac{3\sqrt{2}}{8}$，由角之间的关系、诱导公式、二倍角余弦公式的变形求出sin4α的值．

解答 解：（1）由题意得f（x）=sin（x+$\frac{π}{4}$）cosx
=$\frac{\sqrt{2}}{2}（sinxcosx+co{s}^{2}x）$=$\frac{\sqrt{2}}{4}（sin2x+cos2x+1）$
=$\frac{1}{2}sin（2x+\frac{π}{4}）+\frac{\sqrt{2}}{4}$，
由$2kπ-\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{4}≤2kπ+\frac{π}{2}（k∈Z）$得，
$kπ-\frac{3π}{8}≤x≤kπ+\frac{π}{8}（k∈Z）$，
∴函数f（x）的单调递增区间是$[kπ-\frac{3π}{8}，kπ+\frac{π}{8}]（k∈Z）$；
（2）由（1）得，f（α）=$\frac{1}{2}sin（2α+\frac{π}{4}）+\frac{\sqrt{2}}{4}$=$\frac{3\sqrt{2}}{8}$，
∴$sin（2α+\frac{π}{4}）=\frac{\sqrt{2}}{4}$，
∴$sin4α=-cos（4α+\frac{π}{2}）$=-[1-$2si{n}^{2}（2α+\frac{π}{4}）$]
=$-\frac{3}{4}$．

点评 本题考查正弦函数的性质，两角和的正弦公式、二倍角的正弦公式，以及诱导公式、二倍角余弦公式的变形，其中变角是解题的关键，考查化简、变形能力．