Question

10．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a}{x-1}，x≤0}\\{lgx，x＞0}\end{array}\right.$，其中a≠0．若f（x）=0，则x=1；若方程f（f（x））=0有唯一解，则实数a的取值范围是（-1，0）∪（0，+∞）．

Answer 1

分析 由分段函数式，可得lgx=0，可得x=1；令t=f（x），可得f（t）=0，解得t=1，讨论x的范围，解方程可得x=10，而1+a＞0，且a≠0．

解答 解：由函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a}{x-1}，x≤0}\\{lgx，x＞0}\end{array}\right.$，
当x≤0时，f（x）≠0；
当x＞0时，f（x）=lgx=0，解得x=1；
令t=f（x），由f（f（x））=0，即为f（t）=0，
解得t=1，
由f（x）=1有唯一解，
若x≤0时，$\frac{a}{x-1}$=1，解得x=1+a；
若x＞0时，lgx=1，解得x=10．
由方程有唯一解，可得1+a＞0，且a≠0．
即有-1＜a＜0或a＞0．
故答案为：1，（-1，0）∪（0，+∞）．

点评 本题考查分段函数的运用：解方程，注意运用分类讨论的思想方法，以及转化思想，考查对数的运算性质，属于基础题．