Question

在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，直线l的参数方程为

x=t y=at

，（t为参数），曲线C₁的方程为ρ（ρ-4sinθ）=12，定点A（6，0），点P是曲线C₁上的动点，Q为AP的中点．
（1）求点Q的轨迹C₂的直角坐标方程；
（2）直线l与直线C₂交于A，B两点，若|AB|≥2

3

，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：简单曲线的极坐标方程,参数方程化成普通方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（1）首先，将曲线C₁化为直角坐标方程，然后，根据中点坐标公式，建立关系，从而确定点Q的轨迹C₂的直角坐标方程；
（2）首先，将直线方程化为普通方程，然后，根据距离关系，确定取值范围．

解答： 解：（1）根据题意，得
曲线C₁的直角坐标方程为：x²+y²-4y=12，
设点P（x′，y′），Q（x，y），
根据中点坐标公式，得

x′=2x-6 y′=2y

，代入x²+y²-4y=12，
得点Q的轨迹C₂的直角坐标方程为：（x-3）²+（y-1）²=4，
（2）直线l的普通方程为：y=ax，根据题意，得

|3a-1|

a2+1

≤

22-( 3 )2

，
解得实数a的取值范围为：[0，

3

4

]．

点评：本题重点考查了圆的极坐标方程、直线的参数方程，直线与圆的位置关系等知识，考查比较综合，属于中档题，解题关键是准确运用直线和圆的特定方程求解．