Question

17．数列{a_n}满足a_n+1-a_n=2，a₁=2．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）等比数列{b_n}满足b₁=a₁，b₄=a₈，求{b_n}的前n项和S_n；
（3）设c_n=a_nb_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由已知可得数列{a_n}为等差数列，代入等差数列的通项公式得答案；
（2）由已知求出b₁，b₄，进一步求得公比，代入等比数列的前n项和得答案；
（3）求出等比数列的通项公式，把等差数列的通项公式和等比数列的通项公式代入c_n=a_nb_n，利用错位相减法数列{c_n}的前n项和T_n．

解答 解：（1）由a_n+1-a_n=2，
可得数列{a_n}是公差为2的等差数列，
又a₁=2，得
a_n=a₁+（n-1）d=2+2（n-1）=2n；
（2）由b₁=a₁=2，b₄=a₈=16，
得${q}^{3}=\frac{{b}_{4}}{{b}_{1}}=8$，
∴q=2．
则{b_n}的前n项和S_n=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}={2}^{n+1}-2$；
（3）由（2）得，${b}_{n}=2×{2}^{n-1}={2}^{n}$，
∴c_n=a_nb_n=2n•2ⁿ=n•2ⁿ⁺¹．
则T_n=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+n×2ⁿ⁺¹，
∴$2{T}_{n}=1×{2}^{3}+2×{2}^{4}+…+（n-1）×{2}^{n+1}+n×{2}^{n+2}$．
两式作差得：$-{T}_{n}={2}^{2}+{2}^{3}+…+{2}^{n+1}-n×{2}^{n+2}$=$\frac{4（1-{2}^{n}）}{1-2}-n×{2}^{n+2}={2}^{n+2}-2-n×{2}^{n+2}$，
∴${T}_{n}=（n-1）•{2}^{n+2}+2$．

点评 本题考查等差数列通项公式，考查了等比数列的前n项和，训练了错位相减法求数列的和，是中档题．