Question

6．如图数表：$（{\begin{array}{l}{{a_{11}}}&{{a_{12}}}&…&{{a_{1n}}}\\{{a_{21}}}&{{a_{22}}}&…&{{a_{2n}}}\\…&…&…&…\\{{a_{n1}}}&{{a_{n2}}}&…&{{a_{nn}}}\end{array}}）$，每一行都是首项为1的等差数列，第m行的公差为d_m，且每一列也是等差数列，设第m行的第k项为a_mk（m，k=1，2，3，…，n，n≥3，n∈N^*）．
（1）证明：d₁，d₂，d₃成等差数列，并用m，d₁，d₂表示d_m（3≤m≤n）；
（2）当d₁=1，d₂=3时，将数列{d_m}分组如下：
（d₁），（d₂，d₃，d₄），（d₅，d₆，d₇，d₈，d₉），…（每组数的个数构成等差数列）．设前m组中所有数之和为${（{c_m}）^4}（{c_m}＞0）$，求数列$\{{2^{c_m}}{d_m}\}$的前n项和S_n；
（3）在（2）的条件下，设N是不超过20的正整数，当n＞N时，求使得不等式$\frac{1}{50}（{S_n}-6）＞{d_n}$恒成立的所有N的值．

Answer 1

分析 （1）根据第三行成等差数列得出a_3n，根据最后一列成等差数列得出a_3n，从而得出d₁，d₂，d₃的关系，同理根据a_mn的不同算法即可得出d_m关于m，d₁，d₂的式子；
（2）根据分组特点计算c_m，利用错位相减法计算S_n；
（3）把S_n，d_n代入不等式求出使不等式成立的n的最小值即可得出N的最小值．

解答 解：（1）∵每一行都是首项为1的等差数列，
∴a_1n=1+（n-1）d₁，a_2n=1+（n-1）d₂，a_3n=1+（n-1）d₃．
∵每一列也是等差数列，∴2a_2n=a_1n+a_3n，
∴2+2（n-1）d₂=1+（n-1）d₁+1+（n-1）d₃，即2d₂=d₁+d₃
∴d₁，d₂，d₃成等差数列．
∵a_mn=1+（n-1）d_m，
a_mn=a_1n+（m-1）（a_2n-a_1n）=a_1n+（m-1）（a_2n-a_1n）=1+（n-1）d₁+（m-1）（n-1）（d₂-d₁），
∴1+（n-1）d_m=1+（n-1）d₁+（m-1）（n-1）（d₂-d₁）
化简得d_m=（2-m）d₁+（m-1）d₂．
（2）当d₁=1，d₂=3时，d_m=2m-1（m∈N*），
按数列{d_m}分组规律，第m组中有2m-1个数，
所以第1组到第m组共有1+3+5+…+（2m-1）=m²个数．
则前m组的所有数字和为$\frac{{1+（2{m^2}-1）}}{2}•{m^2}={m^4}$，
∴${（{c_m}）^4}={m^4}$，∵c_m＞0，∴c_m=m，
从而 ${2^{c_m}}{d_m}=（2m-1）•{2^m}$，m∈N*，
∴S_n=1×2+3×2²+5×2³+…+（2n-1）×2ⁿ，
∴2S_n=1×2²+3×2³+…+（2n-1）×2ⁿ⁺¹，
∴-S_n=2+2³+2⁴+…+2ⁿ⁺¹-（2n-1）×2ⁿ⁺¹=2+2³（2^n-1-1）-（2n-1）×2ⁿ⁺¹=（3-2n）×2ⁿ⁺¹-6．
∴${S_n}=（2n-3）•{2^{n+1}}+6$．
（3）由$\frac{1}{50}（{S_n}-6）＞{d_n}$得（2n-3）•2ⁿ⁺¹＞50（2n-1）．
令a_n=（2n-3）•2ⁿ⁺¹-50（2n-1）=（2n-3）（2ⁿ⁺¹-50）-100．
∴当n≤5时，a_n＜0，当n≥6时，a_n＞0，
所以，满足条件的所有正整数N=5，6，7，8，…，20．

点评 本题考查了等差数列的性质，数列求和，属于中档题．