Question

1．如图：已知四棱锥P-ABCD，底面是边长为6的正方形，PA=8，PA⊥面ABCD，
点M是CD的中点，点N是PB的中点，连接AM、AN、MN．
（1）求证：AB⊥MN；
（2）求二面角N-AM-B的大小．

Answer 1

分析 （1）分别以AD、AB、AP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，只要证明$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{MN}=0$，即可证明AB⊥MN．
（2）利用法向量的夹角公式即可得出．

解答 （1）证明：分别以AD、AB、AP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0）、B（0，6，0）、M（6，3，0）、N（0，3，4），
得$\overrightarrow{AB}=（0，6，0）$，$\overrightarrow{MN}=（-6，\;0，\;4）$，
∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{MN}=0$，∴AB⊥MN．
（2）解：取平面AMB的一个法向量为$\overrightarrow{n_1}=（0，0，1）$，
设平面AMN的法向量$\overrightarrow{n_2}=（x，y，z）$，又$\overrightarrow{AM}=（6，3，0）$，$\overrightarrow{AN}=（0，3，4）$，
由$\left\{\begin{array}{l}6x+3y=0\\ 3y+4z=0\end{array}\right.$，取平面AMN的一个法向量$\overrightarrow{n_2}=（1，-2，\frac{3}{2}）$，
设二面角N-AM-B为α，则$cosα=\frac{{{{\overrightarrow n}_1}•{{\overrightarrow n}_2}}}{{|{{{\overrightarrow n}_1}}|•|{{{\overrightarrow n}_2}}|}}=\frac{{\frac{3}{2}}}{{\sqrt{1+4+\frac{9}{4}}}}$=$\frac{{3\sqrt{29}}}{29}$，
∴二面角N-AM-B的大小为$\frac{{3\sqrt{29}}}{29}$．

点评 本题考查了空间位置关系、空间角、向量夹角公式、法向量的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．