Question

如图，已知抛物线x²=4y，过抛物线上一点A（x₁，y₁）（不同于顶点）作抛物线的切线l，并交x轴于点C，在直线y=-1上任取一点H，过H作HD垂直x轴于点D，并交l于点E，过H作直线HT垂直于直线l，并交x轴于点T．
（1）求证：|OC|=|DT|；
（2）试判断直线ET与抛物线的位置关系并说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由y=

x2

4

，得y′=

x

2

，从而得到l：y=

x1

2

(x-x1)+

x12

4

=

x1

2

x-

x12

4

，由此能证明|OC|=|DT|=|

x1

2

|．
（2）由已知得EF：y=（a-

x1

2

）x-（a-

x1

2

）²，由

x2=4y y=(a- x1 2 )x-(a- x1 2 )2

，得x2-4(a-

x1

2

)x+4(a-

x1

2

)2=0，由此利用根的判别式得直线ET与抛物线相切．

解答： （1）证明：∵y=

x2

4

，∴y′=

x

2

，
∴k_l=y′|x=x1=

x1

2

，
∴l：y=

x1

2

(x-x1)+

x12

4

=

x1

2

x-

x12

4

，
∴C（

x1

2

，0），
设H（a，-1），∴D（a，0），
∴TH：y=-

2

x1

(x-a)-1，∴T（a-

x1

2

，0），
∴|OC|=|DT|=|

x1

2

|．
（2）解：直线ET与抛物线相切，理由如下：
∵E（a，

x1a

2

-

x12

4

），T（a-

x1

2

，0），
∴k_EF=

x1a 2 - x12 4

x1 2

=a-

x1

2

，
∴EF：y=（a-

x1

2

）x-（a-

x1

2

）²，
由

x2=4y y=(a- x1 2 )x-(a- x1 2 )2

，得x2-4(a-

x1

2

)x+4(a-

x1

2

)2=0，
△=16(a-

x1

2

)2-16(a-

x1

2

)2=0，
∴直线ET与抛物线相切．

点评：本题考查线段长相等的证明，考查直线与抛物线的位置关系的判断，解题时要认真审题，注意导数的几何意义的合理运用．