Question

三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC。

（１）证明：平面PAB⊥平面PBC；

（２）若PA=，PC与侧面APB所成角的余弦值为，

PB与底面ABC成60°角，

求二面角B―PC―A的大小。

 

Answer 1

 (1)证明：∵PA^面ABC,\PA^BC,    ∵AB^BC,且PA∩AB=A,\BC^面PAB

而BCÌ面PBC中,\面PAB^面PBC. ……5分

解:(2)过A作

则ÐEFA为B−PC−A的二面角的平面角  ……8分

由PA=,在RtDPBC中,ÐCOB=.

RtDPAB中,ÐPBA=60°.  \AB=,PB=2,PC=3 

 \AE=  =

同理：AF=    ………10分

\ÐEFA=  = ,  \ÐEFA=60.     ………12分

另解：向量法：由题可知：AB=,BC=1,建立如图所示的空间直角坐标系…………7分

B(0,0,0),C(1,0,0),A(0,,0),P(0,,),假设平面BPC的法向量为=(x₁,y₁,z₁),

\

取z₁=，可得平面BPC的法向量为=(0,−3,)………9分

同理PCA的法向量为=(2,−,0)…………………11分