Question

10．已知S_n是等差数列{a_n}的前n项和，若S₆=6，S₁₅=75，则数列$\left\{{\frac{S_n}{n}}\right\}$的前20项和为60．

Answer 1

分析 由已知条件利用等差数列的前n项和公式列出方程组求出首项与公差，由此求出$\frac{{S}_{n}}{n}$=$\frac{4}{9}n-\frac{5}{3}$，从而利用分组求和法能求出数列$\left\{{\frac{S_n}{n}}\right\}$的前20项和．

解答 解：∵S_n是等差数列{a_n}的前n项和，若S₆=6，S₁₅=75，
∴$\left\{\begin{array}{l}{6{a}_{1}+\frac{6×5}{2}d=6}\\{15{a}_{1}+\frac{15×14}{2}d=75}\end{array}\right.$，解得a₁=-$\frac{11}{9}$，d=$\frac{8}{9}$，
∴S_n=-$\frac{11n}{9}$+$\frac{n（n-1）}{2}×\frac{8}{9}$=$\frac{4{n}^{2}-15n}{9}$，
∴$\frac{{S}_{n}}{n}$=$\frac{4n-15}{9}$=$\frac{4}{9}n-\frac{5}{3}$，
∴数列$\left\{{\frac{S_n}{n}}\right\}$的前20项和：
S₂₀=$\frac{4}{9}（1+2+3+…+20）-\frac{5}{3}×20$
=$\frac{4}{9}×\frac{20（1+20）}{2}-\frac{100}{3}$
=60．
故答案为：60．

点评 本题考查前列的前20项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．