Question

18．已知函数f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-cos²x-$\frac{1}{2}$，（x∈R）．
（1）当x∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{5π}{12}$]时，求函数f（x）的值域．
（2）设△ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且c=$\sqrt{3}$，f（C）=0，若向量$\overrightarrow{m}$=（1，sinA）与向量$\overrightarrow{n}$=（2，sinB）共线，求a，b的值．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等变换化简f（x），根据x的取值范围，求出f（x）的取值范围，即得最值；
（2）先根据f（C）=0求出C的值，再根据向量共线以及正弦、余弦定理求出a、b的值．

解答 解：（1）函数f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-cos²x-$\frac{1}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1+cos2x}{2}$-$\frac{1}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x-1
=sin（2x-$\frac{π}{6}$）-1．…（3分）
∵-$\frac{π}{12}$≤x≤$\frac{5π}{12}$，
∴$-\frac{π}{3}≤2x-\frac{π}{6}≤\frac{2π}{3}$，
∴$-\frac{{\sqrt{3}}}{2}≤sin（2x-\frac{π}{6}）≤1$，
从而-1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$≤sin（2x-$\frac{π}{6}$）-1≤0．
则f（x）的最小值是$-1-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，最大值是0．…（7分）
（2）$f（C）=sin（2C-\frac{π}{6}）-1=0$，则$sin（2C-\frac{π}{6}）=1$，
∵0＜C＜π，∴-$\frac{π}{6}$＜2C-$\frac{π}{6}$＜$\frac{11π}{6}$，
∴$2C-\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$，解得C=$\frac{π}{3}$．…（10分）
∵向量$\overrightarrow m=（1，sinA）$与向量$\overrightarrow n=（2，sinB）$共线，
∴sinB=2sinA，
由正弦定理得，b=2a①
由余弦定理得，${c^2}={a^2}+{b^2}-2abcos\frac{π}{3}$，即a²+b²-ab②
由①②解得a=1，b=2．…（15分）

点评 本题考查了三角恒等变换的应用问题，也考查了平面向量的应用以及正弦余弦定理的应用问题，是综合性题目．