Question

5．设函数y=f（x）定义域为D，若对于任意x₁，x₂∈D且x₁+x₂=2a，恒有f（x₁）+f（x₂）=2b，则称点（a，b）为函数y=f（x）图象的对称中心．研究并利用函数f（x）=x³-3x²-sin（πx）的对称中心，计算$S=f（\frac{1}{2015}）+f（\frac{2}{2015}）+…+f（\frac{4028}{2015}）+f（\frac{4029}{2015}）$的值（　　）

• A． -8058
• B． 8058
• C． -8060
• D． 8060

Answer 1

分析 观察到自变量前后对称相加和为定值2，故令a=1，x₁+x₂=2，求得f（x₁）+f（x₂）=-4，从而求得要求式子的值．

解答 解：观察到自变量前后对称相加和为定值2，故令a=1，∵x₁+x₂=2，
∴$f（{x_1}）+f（{x_2}）={x_1}^3-3{x_1}^2-sin（π{x_1}）+{（2-{x_1}）^3}-3{（2-{x_1}）^2}-sin[π（2-{x_1}）]=-4$，为定值，
∴$S=f（\frac{4029}{2015}）+f（\frac{4028}{2015}）+…+f（\frac{2}{2015}）+f（\frac{1}{2015}）$，
故2S=-4×4029，∴S=-8058．
故选：A．

点评 本题主要考查正弦函数的函数的图象的对称性，求函数的值，属于中档题．