Question

2．若函数$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{lg（{|x|-1}），|x|＞1}\\{asin（{\frac{π}{2}x}），|x|≤1}\end{array}}\right.$，关于x的方程f²（x）-（a+1）f（x）+a=0，给出下列结论：
①存在这样的实数a，使得方程由3个不同的实根；
②不存在这样的实数a，使得方程由4个不同的实根；
③存在这样的实数a，使得方程由5个不同的实数根；
④不存在这样的实数a，使得方程由6个不同的实数根．
其中正确的个数是（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 由f²（x）-（a+1）f（x）+a=0可解得f（x）=1或f（x）=a，作函数$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{lg（{|x|-1}），|x|＞1}\\{asin（{\frac{π}{2}x}），|x|≤1}\end{array}}\right.$的图象，从而讨论求解．

解答 解：∵f²（x）-（a+1）f（x）+a=0，
∴f（x）=1或f（x）=a，
作函数$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{lg（{|x|-1}），|x|＞1}\\{asin（{\frac{π}{2}x}），|x|≤1}\end{array}}\right.$的图象如下，
，
当a=1时，方程有3个不同的实根，故①正确；
当-1＜a＜1时，方程有6个不同的实根，故④不正确；
当a＞1或a≤-1时，方程有5个不同的实根，故③正确；
综上可知，
不存在这样的实数a，使得方程由4个不同的实根；故②正确；
故选：C．

点评 本题考查了复合函数的应用及数形结合的思想应用及分段函数．