Question

20．已知函数f（x）的图象与函数$g（x）={（{\frac{1}{2}}）^x}$的图象关于直线y=x对称，则f（x²-1）的单调减区间为（　　）

• A． （-∞，1）
• B． （1，+∞）
• C． （0，1）
• D． （0，+∞）

Answer 1

分析 由题意知函数f（x）是函数g（x）=（$\frac{1}{2}$）^x的反函数，根据反函数的定义求出f（x）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}x$，再由复合函数的单调性即可求出f（x²-1）的单调减区间

解答 解：由题意函数f（x）的图象与函数g（x）=（$\frac{1}{2}$）^x的图象关于直线y=x对称知，函数f（x）是函数g（x）=（$\frac{1}{2}$）^x的反函数
所以f（x）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}x$
即f（x²-1）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}（{x}^{2}-1）$，
令x²-1＞0，解得x＜-1，或x＞1，
又f（x）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}x$是减函数，t=x²-1在（-∞，-1）上减，在（1，+∞）上增，
由复合函数的单调性知，f（x²-1）的单调减区间为（1，+∞），
故选：B．

点评 本题考查复合函数的单调性及反函数的定义，解答的关键是熟练掌握反函数的定义及复合函数单调性的判断规则．