Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）经过P（1，

2

2

），离心率为

2

2

．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若椭圆C上存在两个不同的点M、N关于直线y=x+d对称，求d的取值范围；
（Ⅲ）设动直线l：mx+ny+

1

3

n=0（m，n∈R）交椭圆C于A、B两点，试问在y轴正半轴上是否存在一个定点Q，使得以AB为直径的圆恒过点Q？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由？

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）依题意得e=

c

a

=

2

2

，从而

x2

2b2

+

y2

b2

=1，把P（1，

2

2

），代入能求出椭圆的方程．
（Ⅱ）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中点（x₀，y₀），利用点差法能求出d的范围．
（Ⅲ）依题意，动直线l过定点（0，-

1

3

），当直线l的斜率不存在时，以AB为直径的圆的方程为x²+y²=1，与y轴正半轴交于点（0，1，由此推导出在y轴正半轴上存在一个定点Q（0，1）满足条件．

解答： 解：（Ⅰ）依题意得e=

c

a

=

2

2

，
∴c=

2

2

a，b²=a²-c²=

1

2

a2，即a²=2b²，
∴

x2

2b2

+

y2

b2

=1，
又椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）经过P（1，

2

2

），
∴

1

2b2

+

1

2b2

=1，解得b=1，
∴椭圆的方程为

x2

2

+y2=1．
（Ⅱ）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中点（x₀，y₀），
∴

x12

2

+y12=1，

x22

2

+y22=1，
两式相减，得

x12-x22

2

+y12-

y22

=0，
∴

(x1+x2)•(x1-x2)

2

+（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
∴

(x1+x2)(x1-x2)

2

=-(y1+y2)(y1-y2)，
∴x₀=-2y₀，y₀=x₀+d，∴x0=-

2d

3

，y0=

d

3

，
∴MN中点（-

2d

3

，

d

3

），∴

2x0(x1-x2)

2

=-2y0(y1-y2)，
∴

x0

2y0

=-

y1-y2

x1-x2

=-k_MN=-1，
∴

(- 2d 3 )2

2

+(

d

3

)2＜1，解得-

3

＜d＜

3

，
∴d的范围是（-

3

，

3

）．
（Ⅲ）依题意，动直线l过定点（0，-

1

3

），
当直线l的斜率不存在时，以AB为直径的圆的方程为x²+y²=1，
与y轴正半轴交于点（0，1）．
下面证明点Q（0，1）就是所求的点：
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx-

1

3

，
由

y=kx- 1 3 x2 2 +y2=1

，得（18k²+9）x²-12kx-16=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则

x1+x2= 12k 18k2+9 x1x2= -16 18k2+9

，
∵

QA

=（x₁，y₁-1），

QB

=（x₂，y₂-1），

QA

•

QB

=x₁x₂+（y₁-1）（y₂-1）
=x1x2+(kx1-

4

3

)(kx2-

4

3

)
=（1+k²）x₁x₂-

4

3

k(x1+x2)+

16

9

=（1+k²）•

-16

18k2+9

-

4

3

k（x₁+x₂）+

16

9

=（1+k²）•

-16

18k2+9

-

4

3

k•

12k

18k2+9

+

16

9

=0．
∴QA⊥QB，即以AB为直径的圆恒过点Q（0，1），
∴在y轴正半轴上存在一个定点Q（0，1）满足条件．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查实数的取值范围的求法，考查满足条件的点是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．