题目内容
某校设计了一个实验考察方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照题目要求独立完成全部实验操作．规定：至少正确完成其中2道题的便可通过．已知6道备选题中考生甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是
，且每题正确完成与否互不影响．
（Ⅰ）求甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列，并计算其数学期望；
（Ⅱ）请分析比较甲、乙两考生的实验操作能力．
| 2 |
| 3 |
（Ⅰ）求甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列，并计算其数学期望；
（Ⅱ）请分析比较甲、乙两考生的实验操作能力．
考点：离散型随机变量的期望与方差,众数、中位数、平均数,极差、方差与标准差
专题：概率与统计
分析：（Ⅰ）设考生甲、乙正确完成题数分别为ξ，η，则ξ取值分别为1，2，3，η取值分别为0，1，2，3．分别求出相应的概率，由此能求出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列及其数学期望．
（Ⅱ）甲、乙两考生正确完成题数的数学期望相同，分别求出方差，由Dξ＜Dη，由此得到甲考生的实验操作能力更好．
（Ⅱ）甲、乙两考生正确完成题数的数学期望相同，分别求出方差，由Dξ＜Dη，由此得到甲考生的实验操作能力更好．
解答：
解：（Ⅰ）设考生甲、乙正确完成题数分别为ξ，η，
则ξ取值分别为1，2，3，η取值分别为0，1，2，3．
P=（ξ=1）=
=
，
P=（ξ=2）=
=
，
P=（ξ=3）=
=
，
∴考生甲正确完成题数ξ的分布列为：
甲考生正确完成题数的数学期望：
Eξ=1×
+2×
+3×
=2．
∵P（η=k）=
(
)k(
)3-k，k=0，1，2，3，
P（η=0）=
(
)3=
，
P（η=1）=
(
)(
)2=
，
P（η=2）=
（
）2•
，
P（η=3）=
(
)3=
，
∴考生乙正确完成题数η分布列为：
乙考生正确完成题数的数学期望：
Eη=0×
+1×
+2×
+3×
=2．
（Ⅱ）甲、乙两考生正确完成题数的数学期望相同，
Dξ=(2-1)2•
+(2-2)2•
+(2-3)2•
=
，
Dη=(2-0)2•
+(2-1)2•
+(2-2)2•
+(2-3)2•
=
，
∴Dξ＜Dη，
∴甲考生的实验操作能力更好．
则ξ取值分别为1，2，3，η取值分别为0，1，2，3．
P=（ξ=1）=
| ||||
|
| 1 |
| 5 |
P=（ξ=2）=
| ||||
|
| 3 |
| 5 |
P=（ξ=3）=
| ||||
|
| 1 |
| 5 |
∴考生甲正确完成题数ξ的分布列为：
| ξ | 1 | 2 | 3 | ||||||
| P |
|
|
|
Eξ=1×
| 1 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
| 1 |
| 5 |
∵P（η=k）=
| C | k 3 |
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
P（η=0）=
| C | 0 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 27 |
P（η=1）=
| C | 1 3 |
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 6 |
| 27 |
P（η=2）=
| C | 2 3 |
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 12 |
| 27 |
P（η=3）=
| C | 3 3 |
| 2 |
| 3 |
| 8 |
| 27 |
∴考生乙正确完成题数η分布列为：
| η | 0 | 1 | 2 | 3 | ||||||||
| P |
|
|
|
|
Eη=0×
| 1 |
| 27 |
| 6 |
| 27 |
| 12 |
| 27 |
| 8 |
| 27 |
（Ⅱ）甲、乙两考生正确完成题数的数学期望相同，
Dξ=(2-1)2•
| 1 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
| 1 |
| 5 |
| 2 |
| 5 |
Dη=(2-0)2•
| 1 |
| 27 |
| 6 |
| 27 |
| 12 |
| 27 |
| 8 |
| 27 |
| 2 |
| 3 |
∴Dξ＜Dη，
∴甲考生的实验操作能力更好．
点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查甲、乙两人实验操作能力好坏的比较，是中档题，在历年高考中都是必考题型．
练习册系列答案
新思维假期作业暑假吉林大学出版社系列答案
蓝天教育暑假优化学习系列答案
相关题目
如图，已知平行四边形ABCD和平行四边形ACEF所在的平面相交于直线AC，EC⊥平面ABCD，AB=1，AD=2，∠ADC=60°，AF=