Question

在抛物线y²=2x上求一点P，使其到直线l：x+y+4=0的最距离最小，并求最小值．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设P（x，y）为该抛物线上任一点，利用点到直线间的距离公式可求得点P到直线x+y+4=0的距离d的关系式，并求得d_min．

解答： 解：设P（x，y）为该抛物线上任一点，那么y²=2x，
则点P到直线的距离d=

|x+y+4|

2

=

2

4

[（y+1）²+7]≥

7 2

4

，当且仅当y=-1时，取“=”．
此时点P（

1

2

，-1）．
即抛物线上的点P的坐标为P（

1

2

，-1）时，点P到直线x+y+4=0的距离最短，最小值为

7 2

4

．

点评：本题考查抛物线的简单性质，考查点到直线间的距离公式与两点间的距离公式，属于中档题．