Question

求证：椭圆的焦点在切线上的射影的轨迹是以长轴为直径的圆（除去两顶点）．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由题意画出图形，连结切点与椭圆两焦点得到三角形，延长F₁P到A，使|PA|=|PF₂|，连结AF₂，结合过椭圆上一点P的切线平分△PF₁F₂的外角可得F₂在切线上的射影G，由椭圆定义结合三角形中位线知识可得|OG|为定值a，结论得证．

解答： 证明：如图，
设椭圆的一条切线为PT，切点为P，
连结F₁P并延长到A，使|PA|=|PF₂|，
连结AF₂，
由过椭圆上一点P的切线平分△PF₁F₂的外角可知，
AF₂的中点G即为F₂在切线上的射影，
连结OG，则OG=

1

2

|AF1|=

1

2

×2a=a，
同理有F₁在切线上的射影H满足|OH|=a．
∴椭圆的焦点在切线上的射影的轨迹是以长轴为直径的圆（除去两顶点）．

点评：本题考查了椭圆的简单几何性质，证明此题的关键在于椭圆定义得运用及三角形中位线的性质，是中档题．