Question

20．关于x方程x²+2x+a=0（a∈R）的两个根为α、β，且|α|+|β|=3，求实数a的值．

Answer 1

分析 根据韦达定理结合判别式△，通过|α|+|β|=3，列出方程，即可得到结论．

解答 解：判别式△=4-4a=4（1-a），
①若△≥0，即a≤1，则α，β为实根，
则α+β=-2，αβ=a，
则（|α|+|β|）²=α²+β²+2|αβ|=（α+β）²-2αβ+2|αβ|=4-2a+2|a|，
故|α|+|β|=$\sqrt{4-2a+2|a|}$=3．
当a＜0，可得4-4a=9
解得：a=$-\frac{5}{4}$．
当0≤a≤1时，|α|+|β|=2≠3无解；
②若△＜0，即a＞1，则α，β为虚根，α=-1+$\sqrt{a-1}$i，β=-1-$\sqrt{a-1}$i，
故|α|+|β|=2$\sqrt{1+a-1}$=2$\sqrt{a}$=3．解得a=$\frac{9}{4}$．
综上a的值为：$-\frac{5}{4}$；$\frac{9}{4}$．

点评 本题主要考查一元二次方程根与系数的应用，注意要讨论判别式△．