Question

【题目】已知二次函数

（Ⅰ）若函数在区间上存在零点，求实数的取值范围；

（Ⅱ）问：是否存在常数，当时， 的值域为区间，且的长度为．（说明：对于区间，称为区间长度）

Answer 1

【答案】（1）（2）存在常数， ， 满足题意.

【解析】试题分析：(1) 先由函数对称轴为得函数在上单调减，要使函数在存在零点，则需满足，解得； (2)当时， 的值域为，由，得合题意；当时， 的值域为，由，得不合题意；当时， 的值域为，用上面的方法得或合题意.

试题解析：⑴ ∵二次函数的对称轴是

∴函数在区间上单调递减

∴要函数在区间上存在零点须满足

即

解得，所以.

⑵ 当时，即时， 的值域为： ，即

∴

∴∴

经检验不合题意，舍去。

当时，即时， 的值域为： ，即

∴, ∴

经检验不合题意，舍去。

当 时， 的值域为： ，即

∴

∴∴或

经检验或或满足题意。

所以存在常数，当时， 的值域为区间，且的长度为.