Question

20．在△ABC中，BC=7，cosA=$\frac{1}{5}$，sinC=$\frac{2\sqrt{6}}{7}$，若动点P满足$\overrightarrow{AP}$=$\frac{2λ}{3}$$\overrightarrow{AB}$+（1-λ）$\overrightarrow{AC}$（λ∈R），则点P的轨迹与直线AB、AC所围成的封闭区域的面积为（　　）

• A． 3$\sqrt{6}$
• B． 4$\sqrt{6}$
• C． 6$\sqrt{6}$
• D． 12$\sqrt{6}$

Answer 1

分析 根据向量加法的几何意义得出P点轨迹，利用正弦定理解出AB，得出△ABC的面积，从而求出围成封闭区域的面积．

解答 解：设$\overrightarrow{AD}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AB}$．
∵$\overrightarrow{AP}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AB}$+（1-λ）$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AD}$+（1-λ）$\overrightarrow{AC}$．
∴C，D，P三点共线．
∴P点轨迹为直线CD．
在△ABC中，sinA=$\frac{2\sqrt{6}}{5}$．sinC=$\frac{2\sqrt{6}}{7}$．
由正弦定理得AB=5．
sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=$\frac{2\sqrt{6}}{5}×\frac{5}{7}+\frac{1}{5}×\frac{2\sqrt{6}}{7}$=$\frac{12\sqrt{6}}{35}$
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}×5×7×\frac{12\sqrt{6}}{35}$=6$\sqrt{6}$．
∴S_△ACD=$\frac{2}{3}$S_△ABC=4$\sqrt{6}$．
故选：B．

点评 本题考查了平面向量线性运算的几何意义，正弦定理解三角形，属于中档题．