Question

9．容器C的内、外壁分别为棱长为2a和2a+2的正方体，容器S的内、外壁分别为半径为r和r+1的球形，若两个容器的容积相同，则关于两个容器的体积V_C和V_S，下列说法正确的是（　　）

• A． 存在满足条件的a，r，使得V_C＜V_S
• B． 对任意满足条件的a，r，使得V_C=V_S
• C． 对任意满足条件的a，r，使得V_C＞V_S
• D． 存在唯一一组条件的a，r，使得V_C=V_S

Answer 1

分析 利用两个容器的容积相同，确定a与r的关系，再作差，即可得出结论．

解答 解：由题意，两个容器的容积相同，则（2a）³=$\frac{4}{3}$πr³，∴a=$\root{3}{\frac{π}{6}}$r
∵V_S=$\frac{4}{3}$π（r+1）³，V_C=（2a+2）³，
∴V_S-V_C=$\frac{4}{3}$π（r+1）³-（2a+2）³=$\frac{4}{3}$π（r+1）³-8（$\root{3}{\frac{π}{6}}$r+1）³=（4π-24$\root{3}{\frac{{π}^{2}}{36}}$）r²+（4π-24$\root{3}{\frac{π}{6}}$）r+$\frac{4}{3}π$-8＜0，
∴对任意满足条件的a，r，使得V_C＞V_S．
故选：C．

点评 本题考查正方体、球的体积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．