Question

已知函数f（x）=

1+a•2x

2x+b

是奇函数，并且函数f（x）的图象经过点（1，3）．
（Ⅰ）求实数a，b的值；
（Ⅱ）求函数f（x）在x＜0时的值域．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）根据题意和奇函数的性质可得：f（1）=3、f（-1）=-3，列出关于a、b的方程组，求出a、b的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）求出f（x）的解析式，由x＜0和指数函数的单调性得：0＜2^x＜1，再求出函数f（x）的值域．

解答： 解：（Ⅰ）因为函数f（x）的图象经过点（1，3），
所以f（1）=3，即

1+2a

2+b

=3，①
因为f（x）=

1+a•2x

2x+b

是奇函数，
所以f（-1）=-3，即

1+ 1 2 a

1 2 +b

=-3，②
由①②解得a=1，b=-1，
所以实数a，b的值为1、-1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，f(x)=

1+2x

2x-1

=1+

2

2x-1

，
又x＜0，则0＜2^x＜1，-1＜2^x-1＜0，
所以

2

2x-1

＜-2，即1+

2

2x-1

＜-1，
故函数f（x）在x＜0时的值域为（-∞，-1）．

点评：本题考查奇函数的性质，指数函数的性质的综合应用，考查待定系数法求函数的解析式．