题目内容
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin2A+sin2C-sinAsinC=sin2B．
（1）求角B的大小；
（2）求2cos2A+cos（A-C）的取值范围．
（1）求角B的大小；
（2）求2cos2A+cos（A-C）的取值范围．
考点：余弦定理,正弦定理
专题：计算题,三角函数的图像与性质,解三角形
分析：（1）运用正弦定理化角为边，再由余弦定理可得角B；
（2）运用内角和定理，将C化为A，运用二倍角的余弦公式和两角差的余弦公式和两角和的正弦公式，再由正弦函数的图象和性质，即可得到范围．
（2）运用内角和定理，将C化为A，运用二倍角的余弦公式和两角差的余弦公式和两角和的正弦公式，再由正弦函数的图象和性质，即可得到范围．
解答：
解：（1）由正弦定理可得，
sin2A+sin2C-sinAsinC=sin2B即为a2+c2-ac=b2，
由余弦定理可得cosB=
=
=
，
由0＜B＜π，则B=
；
（2）由于A+C=π-B=
，
则2cos2A+cos（A-C）=1+cos2A+cos（2A-
）
=1+cos2A-
cos2A+
sin2A
=1+sin（2A+
），
0＜A＜
，则
＜2A+
＜
，
则有-1＜sin（2A+
）≤1，
即有0＜1+sin（2A+
）≤2．
则所求取值范围是（0，2]．
sin2A+sin2C-sinAsinC=sin2B即为a2+c2-ac=b2，
由余弦定理可得cosB=
| a2+c2-b2 |
| 2ac |
| ac |
| 2ac |
| 1 |
| 2 |
由0＜B＜π，则B=
| π |
| 3 |
（2）由于A+C=π-B=
| 2π |
| 3 |
则2cos2A+cos（A-C）=1+cos2A+cos（2A-
| 2π |
| 3 |
=1+cos2A-
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
=1+sin（2A+
| π |
| 6 |
0＜A＜
| 2π |
| 3 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| 3π |
| 2 |
则有-1＜sin（2A+
| π |
| 6 |
即有0＜1+sin（2A+
| π |
| 6 |
则所求取值范围是（0，2]．
点评：本题考查正弦定理和余弦定理的运用，考查三角函数的化简和求值，考查二倍角公式，以及两角和差的正弦、余弦公式，属于中档题．
练习册系列答案
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A、
| ||
B、
| ||
C、
| ||
D、
|