Question

f（x）是定义在（ 0，+∞）上的函数，已知0＜x＜1，f（x）＜0，且f（

x

y

）=f（x）-f（y）
（1）求f（1）的值．
（2）证明：f（x）是（ 0，+∞）上的增函数
（3）若f（4）=1，解不等式 f（ x+6 ）+f（x）＜2．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）令x=y=1，代入f（

x

y

）=f（x）-f（y）可得f（1）=0；
（2）设0＜x₁＜x₂，可构造f（x₁）-f（x₂）=f（

x1

x2

），再结合0＜x＜1，f（x）＜0，可得其符号，从而得到f（x₁）与f（x₁）的大小，证明单调性；
（3）将f（ x+6 ）+f（x）变形为f（（x+6）x），2=f（16），然后利用单调性构造关于x的不等式，解之即可．

解答： 解：（1）令x=y=1，代入f（

x

y

）=f（x）-f（y）可得f（1）=f（1）-f（1）=0，所以f（1）=0；
（2）设0＜x₁＜x₂，可得f（x₁）-f（x₂）=f（

x1

x2

），因为0＜

x1

x2

＜1，且0＜x＜1时，f（x）＜0，
所以f（

x1

x2

）＜0，从而f（x₁）-f（x₂）＜0，所以f（x₁）＜f（x₂），
所以f（x）是（ 0，+∞）上的增函数；
（3）由f（4）=1，令x=16，y=4，则f（

16

4

）=f（16）-f（4），得f（16）=2f（4）=2
而 f（ x+6 ）+f（x）=f[x（x+6）]，结合第（2）问该函数在（0，+∞）上为增函数，
所以f[x（x+6）]＜f（16），即x（x+6）＜16，结合

x+6＞0 x＞0

得0＜x＜2，
故不等式的解集为{x|0＜x＜2}．

点评：本题考查了抽象函数的求某些特殊点处的函数值问题采用赋值法，研究单调性常用定义法，解不等式常用单调性．