Question

已知函数．
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若函数的图像在点处的切线的倾斜角为，问：在什么范围取值时，对于任意的，函数在区间上总存在极值？
（Ⅲ）当时，设函数，若在区间上至少存在一个，
使得成立，试求实数的取值范围．

Answer 1

解：（Ι）由知：
当时，函数的单调增区间是，单调减区间是；
当时，函数的单调增区间是，单调减区间是；………………4分
（Ⅱ）由,
∴，.             ………………………6分
故，
∴,
∵ 函数在区间上总存在极值，
∴有两个不等实根且至少有一个在区间内…………7分
又∵函数是开口向上的二次函数，且，∴ …………8分
由，∵在上单调递减，所以
；∴，由，解得；
综上得：所以当在内取值时，对于任意的，函数
在区间上总存在极值。………………………9分
（Ⅲ）令，则
.
① 当时，由得，从而,
所以，在上不存在使得；…………………11分
② 当时，,，

在上恒成立，故在上单调递增。
故只要，解得综上所述， 的取值范围是

略