Question

（本题满分14分）
已知函数，，
（Ⅰ）当时，若在上单调递增，求的取值范围；
（Ⅱ）求满足下列条件的所有实数对：当是整数时，存在，使得是的最大值，是的最小值；
（Ⅲ）对满足（Ⅱ）的条件的一个实数对，试构造一个定义在，且上的函数，使当时，，当时，取得最大值的自变量的值构成以为首项的等差数列。

Answer 1

解：（Ⅰ）当时，，
若，，则在上单调递减，不符题意。
故，要使在上单调递增，必须满足，
∴。 （4分）
（Ⅱ）若，，则无最大值，故，
∴为二次函数，
要使有最大值，必须满足，即且，
此时，时，有最大值。
又取最小值时，，依题意，有，
则，
∵且，∴，得，此时或。
∴满足条件的实数对是。  （9分）            
（Ⅲ）当实数对是时，        （14分）   
依题意，只需构造以2（或2的正整数倍）为周期的周期函数即可。
如对，，
此时，，
故

略