Question

19．已知数列{a_n}、{b_n}满足a₁=-1，b₁=1，a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{1-4{b}_{n}^{2}}$，b_n+1=a_n+1b_n，点P_n的坐标为（a_n，b_n），且点P₁、P₂在直线l上．
（1）求直线l的方程；
（2）用数学归纳法证明：对任意n∈N^*，点P_n（a_n，b_n）在直线l上．

Answer 1

分析 （1）由a₁=1，b₁=-1可得P₁的坐标为（1，-1），只要求出点P₂的坐标即可求出过点P₁，P₂的直线l的方程；
（2）利用数学归纳法进行证明．

解答 （1）解：当n=2时，a₂=$\frac{{a}_{1}}{1-4{b}_{1}^{2}}$=$\frac{1}{3}$，b₂=a₂b₁＜0，
∴P₁（-1，1），P₂（$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$），
故过P₁、P₂两点的直线l的方程为y-1=-$\frac{1}{2}$（x+1），即x+2y-1=0；
（2）证：①显然P₁在直线l上
②假设P_k在直线l上，则a_k+2b_k-1=0，即a_k=1-2b_k，
则n=k+1时
a_k+1+2b_k+1-1=$\frac{{a}_{k}}{1-4{b}_{k}^{2}}$×b_k-1=$\frac{{a}_{k}（1+2{b}_{k}）}{1-4{b}_{k}^{2}}$-1=$\frac{{a}_{k}}{1-2{b}_{k}}$-1=0，
∴P_k+1在直线l上，
由①②知，对任意n∈N^*，点P_n直线l上．

点评 此题考查直线的两点式，关键是求出点P₁，P₂的坐标；第二问考查数学归纳法，记住其一般步骤：（1）当n=1时，显然成立．（2）假设当n=k时（把式中n换成k，写出来）成立，则当n=k+1时，（这步比较困难，化简步骤往往繁琐，考试时可以直接写结果）该式也成立．由（1）（2）得，原命题对任意正整数均成立．