Question

9．设向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$夹角为θ，定义$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的“向量积”：$\overrightarrow{a}$×$\overrightarrow{b}$是一个向量，它的模|$\overrightarrow{a}$×$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{b}$|sinθ．若$\overrightarrow{a}$=（1，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{b}$=（-1，$\sqrt{3}$），则|$\overrightarrow{a}$×$\overrightarrow{b}$|=2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 先求得$\overrightarrow{a}$及$\overrightarrow{b}$的模长，根据两个向量的夹角坐标公式求得两向量夹角的余弦值，进而求得夹角的正弦值，根据“向量积”定义，即可求得|$\overrightarrow{a}$×$\overrightarrow{b}$|的值．

解答 解：|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{1+（\sqrt{3}）^{2}}$=2，|$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{1+（\sqrt{3}）^{2}}$=2，
cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{丨\overrightarrow{a}丨丨\overline{b}丨}$=$\frac{1×（-1）+\sqrt{3}×\sqrt{3}}{2×2}$=$\frac{1}{2}$，
∵sinθ＞0
∴sinθ=$\sqrt{1-co{s}^{2}θ}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
|$\overrightarrow{a}$×$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{b}$|sinθ=2×2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$，
故答案为：2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了平面向量的坐标运算，考查了由两向量的坐标求其夹角，是新定义下的运算题，属于基础题．