Question

2．（Ⅰ）求过点（$\sqrt{3}，2\sqrt{2}$）且与双曲线$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$有相同渐近线的双曲线的标准方程．
（Ⅱ） 如图所示，A、B是椭圆的两个顶点，C是AB的中点，F为椭圆的右焦点，OC的延长线交椭圆于点M，且|OF|=$\sqrt{2}$，若MF⊥OA，求此椭圆的标准方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=λ（λ≠0）$，代入点（$\sqrt{3}，2\sqrt{2}$），解得$λ=-\frac{1}{6}$，可得双曲线的标准方程．
（Ⅱ）设所求椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），求出M点的坐标为（$\sqrt{2}$，$\frac{b^2}{a}$），利用O、C、M三点共线，求出a，b，即可求此椭圆的标准方程．

解答 解：（Ⅰ）设$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=λ（λ≠0）$，代入点（$\sqrt{3}，2\sqrt{2}$），解得$λ=-\frac{1}{6}$
∴$\frac{{3{y^2}}}{8}-\frac{{2{x^2}}}{3}=1$ …．（6分）
（Ⅱ）设所求椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），则A（a，0），B（0，b），C（$\frac{a}{2}$，$\frac{b}{2}$），F（c，0）
依题意得c=$\sqrt{2}$，即a²-b²=2．
又MF⊥OA，则FM所在的直线方程是x=$\sqrt{2}$，代入椭圆方程得y=±$\frac{b^2}{a}$，所以M点的坐标为（$\sqrt{2}$，$\frac{b^2}{a}$）
由于O、C、M三点共线，所以$\frac{{\frac{b^2}{a}}}{{\sqrt{2}}}$=$\frac{\frac{b}{2}}{\frac{a}{2}}$，即$b=\sqrt{2}$，所以a²=4，b²=2．
所以所求椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$． …．（12分）

点评 本题考查双曲线、椭圆的标准方程，考查待定系数法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．