Question

7．南山中学近几年规模不断壮大，学生住宿异常紧张，学校拟用1000万元购一块空地，计划在该空地上建造一栋至少8层，每层2000平方米的学生电梯公寓．经测算，如果将公寓建为x（x≥8）层，则每平方米的平均建筑费用为560+48x（单位：元）．
（1）写出拟修公寓每平米的平均综合费用y关于建造层数x的函数关系式；
（2）该公寓应建造多少层时，可使公寓每平方米的平均综合费用最少？最少值是多少？（结果精确到1元）
（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用=$\frac{购地总费用}{建筑总面积}$）

Answer 1

分析 （1）由已知得，楼房每平方米的平均综合费为每平方米的平均建筑费用为560+48x与平均购地费用的和，由已知中某单位用10⁷元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋x层，每层2000平方米的楼房，我们易得楼房平均综合费用y关于建造层数x的函数关系式；
（2）由（1）中的楼房平均综合费用y关于建造层数x的函数关系式，要求楼房每平方米的平均综合费用最小值，先利用基本不等式，检验等号成立的条件，即可求最小值．

解答 解（1）依题意得y=（560+48x）+$\frac{1000×10000}{2000x}$
=560+48x+$\frac{5000}{x}$（x≥8，x∈N^*）；
（2）由y=560+48x+$\frac{5000}{x}$≥560+2$\sqrt{48x•\frac{5000}{x}}$=560+400$\sqrt{6}$，
当且仅当48x=$\frac{5000}{x}$，即x=$\frac{25}{\sqrt{6}}$∈（10，11），取得等号，
由于x≥8，x∈N^*，
故由x=10时，y=1540；x=11时，y=1543．
故该公寓应建造10层时，可使公寓每平方米的平均综合费用最少，最小值为1540元．

点评 函数的实际应用题，我们要经过审题→建模→解模→还原四个过程，在建模时要注意实际情况对自变量x取值范围的限制，解模时也要实际问题实际考虑．将实际的最大（小）化问题，利用函数模型，转化为求函数的最大（小）是最优化问题中，最常见的思路之一．