Question

17．在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD为梯形，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=$\frac{π}{3}$，对角面A₁ACC₁为矩形，平面A₁ACC₁⊥平面ABCD，CC₁=1．
（1）证明：BC⊥平面A₁ACC₁；
（2）点M在线段A₁C₁上运动，当M点在什么位置时，几何体B₁-AMB的体积为$\frac{\sqrt{3}}{12}$？

Answer 1

分析 第 （1）问要证明BC⊥平面A₁ACC₁，因为考虑到条件里有平面A₁ACC₁⊥平面ABCD，所以可以考虑面面垂直的性质定理．
第（2）问，几何体B₁-AMB为三棱锥，其体积不易直接计算，可以利用等体积法进行转换${V}_{{B}_{1}-AMB}={V}_{M-AB{B}_{1}}$，利用几何体B₁-AMB的体积为定值确定M点的位置．

解答 （1）在梯边ABCD中，∵AB∥CD，AD=DC=CB=1，$∠ABC=\frac{π}{3}$，
所以四边形ABCD为等腰梯形，∴AB=2CD=2，
∴$A{C}^{2}=A{B}^{2}+B{C}^{2}-2AB?BCcos\frac{π}{3}=3$，
∴AB²=AC²+BC²，∴BC⊥AC，
又∵平面A₁ACC₁⊥平面ABCD，平面A₁ACC₁∩平面ABCD=AC，
∴BC⊥平面A₁ACC₁．
（2）因为${A}_{1}{C}_{1}=AC=\sqrt{3}$，所以设${A}_{1}M=λ（0≤λ≤\sqrt{3}）$，过M做ME垂直A₁B₁于E，

∵CC₁⊥平面ABCD，∴四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁为直四棱柱，从而平面ABB₁A₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，
又平面ABB₁A₁∩平面A₁B₁C₁D₁=A₁B₁，
所以ME⊥平面A₁B₁C₁D₁，
所以ME为M到平面A₁B₁C₁D₁的距离．因为△A₁ME∽△A₁B₁C₁，
所以$\frac{ME}{{B}_{1}{C}_{1}}=\frac{{A}_{1}M}{{A}_{1}{B}_{1}}∴\frac{ME}{1}=\frac{λ}{2}∴ME=\frac{λ}{2}$，${V}_{{B}_{1}-AMB}={V}_{M-AB{B}_{1}}=\frac{1}{3}×ME×{S}_{{△ABB}_{1}}=\frac{λ}{6}×\frac{1}{2}×1×2=\frac{\sqrt{3}}{12}$．
∴$λ=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
从而M点为A₁C₁的中点．

点评 纵览近几年的高考试题，不难发现立体几何解答题多设置两问，（1）问主要考查空间中的平行、垂直两大位置关系，工具为相关的判定与性质定理，需要注意线线、线面、面面三者之间的相互转化；（2）问多涉及常见几何体的体积、点到面的距离等知识，常以定值或证明的形式出现．预测2015年仍将采用此种模式，需重点关注四棱锥与四棱柱为载体的题型．要注意三个意识，第一为转化与化归的意识，注意线线关系，线面关系，面面关系之间的转化，注意垂直关系，平行关系之间的转化．第二为平面化的思想，即立体几何问题平面化，三是割补意识，将原空间几何体分割或补形，使之成为便于处理的空间几何体．