Question

11．双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的左，右焦点为F₁，F₂．A，B为顶点，以线段F₁F₂为直径的圆交双曲线的一条渐近线bx-ay=0于M，N两点，且∠MAB=30°，则双曲线的离心率为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{21}}}{3}$
• B． 2
• C． $\frac{{\sqrt{6}}}{2}$
• D． $\frac{5}{3}$

Answer 1

分析 由题意求出圆的方程，双曲线的渐近线方程，通过∠MAB=30°求出a，b的关系，然后求出双曲线的离心率．

解答 解：由题意可知，圆的方程为x²+y²=c²，双曲线的渐近线方程为y=$\frac{b}{a}$x，
将其代入圆的方程得M（a，b），N（-a，-b）．因为∠BAM=30°．
连接MB，在Rt△MAB中，tan∠BAM=$\frac{b}{2a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
所以$\frac{b}{a}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
所以e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{4}{3}}$=$\frac{\sqrt{21}}{3}$．
故选：A．

点评 本题考查双曲线的简单性质，考查圆的方程的应用，考查计算能力．