Question

已知关于x的不等式：|2x-m|≤1的整数解有且仅有一个值为2．
（Ⅰ）求整数m的值；
（Ⅱ）已知a，b，c∈R，若4a⁴+4b⁴+4c⁴=m，求a²+b²+c²的最大值．

Answer 1

考点：二维形式的柯西不等式,绝对值不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：（I）由条件可得

m-1

2

≤2≤

m+1

2

，求得3≤m≤5．根据不等式仅有一个整数解2，可得整数m的值．
（2）根据a⁴+b⁴+c⁴=1，利用柯西不等式求得（a²+b²+c²）²≤3，从而求得a²+b²+c²的最大值．

解答： 解：（I）由|2x-m|≤1，得 

m-1

2

≤x≤

m+1

2

．∵不等式的整数解为2，∴

m-1

2

≤2≤

m+1

2

⇒3≤m≤5．
又不等式仅有一个整数解2，∴m=4．
（2）由（1）知，m=4，故a⁴+b⁴+c⁴=1，
由柯西不等式可知；（a²+b²+c²）²≤（1²+1²+1²）[（a²）²+（b²）²+（c²）²]
所以（a²+b²+c²）²≤3，即a2+b2+c2≤

3

，
当且仅当a2=b2=c2=

3

3

时取等号，最大值为

3

．

点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，二维形式的柯西不等式的应用，属于基础题．