Question

【题目】已知f（x）是定义在R上的奇函数且f（-2）=-3，当x≥0时，f（x）=ax-1，其中a＞0且a≠1．

（1）求的值；

（2）求函数f（x）的解析式；

（3）已知g（x）=log2x，若对任意的x1∈[1，4]，存在使得f（mx1）+1≥g（x2）（其中m≥0）成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）0；（2）；（3）

【解析】

（1）根据题意，由奇函数的性质可得=0，即可得答案；

（2）根据题意，由函数的奇偶性可得f（2）=3，结合函数的解析式可得f（2）=a2-1=3，解可得a=2，解可得当x≥0时，f（x）=2x-1，当x＜0时，结合函数的奇偶性与解析式分析可得f（x）=-f（-x）=-2-x+1，综合可得答案；

（3）根据题意，由函数的解析式分析可得x1∈[1，4]时，f（mx1）的取值范围和当时，g（x2）的取值范围，结合题意可得2m≥，解可得m的取值范围，即可得答案．

（1）根据题意，f（x）为奇函数，即有f（x）+f（-x）=0，

则=0，

（2）根据题意，f（x）是定义在R上的奇函数且f（-2）=-3，则f（2）=3，

又由当x≥0时，f（x）=ax-1，则f（2）=a2-1=3，解可得a=2，

则当x≥0时，f（x）=2x-1，

当x＜0时，-x＞0，f（-x）=2-x-1，

则f（x）=-f（-x）=-2-x+1，

故f（x）=；

（3）任意的x1∈[1，4]，当m＞0，有mx1＞0，则f（mx1）+1=，

则有2m≤f（mx1）+1≤24m，

当时，则g（x2）=log2x2，则有≤g（m）≤1+log23，

若对任意的x1∈[1，4]，存在使得f（mx1）+1≥g（x2），

则有2m≥，解可得m≥log23-1，

即m的取值范围为[log23-1，+∞）