Question

【题目】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=AD=2，BC=1，CD= ．
（1）求证：平面PQB⊥平面PAD；
（2）若PM=3MC，求二面角M﹣BQ﹣C的大小．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵Q为AD的中点，PA=PD=AD=2，BC=1，

∴PQ⊥AD，QD BC，

∴四边形BCDQ是平行四边形，∴DC∥QB，

∵底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，

∴BQ⊥AD，

又BQ∩PQ=Q，∴AD⊥平面PQB，

∵AD平面PAD，∴平面PQB⊥平面PAD

（2）证明：解：∵PQ⊥AD，平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD=AD，

∴PQ⊥底面ABCD，

以Q为原点，QA为x轴，QB为y轴，QP为z轴，建立空间直角坐标系，

则Q（0，0，0），B（0， ，0），C（﹣1， ，0），P（0，0， ），

设M（a，b，c），则 ，即（a，b，c﹣ ）= （﹣1， ，﹣ ）=（﹣ ， ，﹣ ），

∴ ，b= ，c= ，∴M（﹣ ， ， ），

=（﹣ ， ， ）， =（0， ，0），

设平面MQB的法向量 =（x，y，z），

则 ，取x=1，得 =（1，0， ），

平面BQC的法向量 =（0，0，1），

设二面角M﹣BQ﹣C的平面角为θ，

则cosθ= = ，∴θ= ，

∴二面角M﹣BQ﹣C的大小为 ．

【解析】（1）推导出四边形BCDQ是平行四边形，从而BQ⊥AD，进而AD⊥平面PQB，由此能证明平面PQB⊥平面PAD．（2）以Q为原点，QA为x轴，QB为y轴，QP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角M﹣BQ﹣C的大小．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用平面与平面垂直的判定的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．