Question

【题目】已知函数f（x）=（x∈R）．

（1）证明：当a＞3时，f（x）在R上是减函数；

（2）若函数f（x）存在两个零点，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）根据题意，由分段函数的解析式依次分析f（x）的两段函数的单调性以及最值，结合函数单调性的定义分析可得答案；

（2）根据题意，函数的解析式变形可得f（x）=3|x-1|-a，分析可得若函数f（x）存在两个零点，即函数f（x）=3|x-1|与函数y=ax有2个不同的交点，结合函数y=3|x-1|的图象分析可得答案．

（1）证明：根据题意，函数f（x）= ，

若a＞3，则当x≥1时，f（x）=（3-a）x-3，有（3-a）＜0，

此时f（x）为减函数，且f（x）≤f（1）=-a，

当x＜1时，f（x）=-（3+a）x+3，有-（3+a）＜0，

此时f（x）为减函数，且f（x）＞f（1）=-a，

故当a＞3时，f（x）为减函数；

（2）根据题意，f（x）= =3|x-1|-a，

若函数f（x）存在两个零点，

即函数f（x）=3|x-1|与函数y=ax有2个不同的交点，

则有0＜a＜3，

即a的取值范围为（0，3）