Question

【题目】已知函数，．

Ⅰ记在上的最大值为M，最小值为m．

若，求a的取值范围；

证明：；

Ⅱ若在上恒成立，求a的最大值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ） ，见解析（Ⅱ）

【解析】

Ⅰ讨论对称轴与区间的关系，可得最大值，即可得到a的范围；

讨论对称轴与区间的关系，求得最值，作差，求得最小值，即可得证；

Ⅱ代入，2的值得到关于a的不等式组，解出即可．

Ⅰ函数，其对称轴为，且开口向上，

，，

，

当时，即时，，

当时，即时，，

，

的取值范围为；

证明：当时，即时，在上单调递减，

，，

，

当时，即时，在上单调递增，

，，

，

当时，，，

，在上为减函数，

，

；

当时，，，

，在上为增函数，

，

综上所述；

Ⅱ在上恒成立，

，即，

故，

解得，

同理，，解得：，

故，

当时，设，此时，

，在递增，

故，

此时，

故在递减，

故在上恒成立，

只需，

故．