Question

设函数f（x）=x²+3ax+1（a∈R）．
（1）若函数y=f（|x|）有四个单调区间，求实数a的取值范围；
（2）函数g（x）=m|x-1|（m∈R），若a=1时，方程|f（x）-1|=g（x）恰有4个相异的实数根，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断,复合函数的单调性

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由二次函数的图象和性质，结合函数y=f（|x|）的图象由函数f（x）的图象，横向对折变换所得，可得若函数y=f（|x|）有四个单调区间，则函数f（x）在区间[0，+∞）上不单调，进而得到实数a的取值范围；
（2）当a=1时，|x²+3x|=m|x-1|恰有4个相异的实数根，即m=|

x2+3x

x-1

|恰有4个相异的实数根，令h（x）=|

x2+3x

x-1

|，结合对勾函数的图象和性质，可得满足条件的实数m的取值范围．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=x²+3ax+1的图象是开口朝上，且以直线x=-

3a

2

为对称轴的抛物线，
函数y=f（|x|）的图象由函数f（x）的图象，横向对折变换所得，
若函数y=f（|x|）有四个单调区间，
则函数f（x）在区间[0，+∞）上不单调，
∴-

3a

2

＞0，
解得：a＜0，
∴实数a的取值范围为（-∞，0），
（2）∵当a=1时，f（x）=x²+3x+1，
∴|f（x）-1|=|x²+3x|，
则|x²+3x|=m|x-1|恰有4个相异的实数根，
即m=|

x2+3x

x-1

|恰有4个相异的实数根，
令h（x）=|

x2+3x

x-1

|=|（x-1）+

4

x-1

+5|，
结合对勾函数的图象和性质及函数图象的对折变换法则，可得：
当x=±3时，h（x）取最小值9，当x→0或x→∞时，h（x）→+∞，
且h（x）在（-∞，-3），（0，3）上为减函数，在（-3，0），（3，+∞）上为增函数，
若m=|

x2+3x

x-1

|恰有4个相异的实数根，则m＞9

点评：本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，复合函数的单调性，对勾函数的图象和性质，函数图象的对折变换，综合性强，转化困难，属于难题．