Question

已知幂函数y=x m2-2m-3（m∈N^*）的图象关于y轴对称，且在（0，+∞）上是减函数，求满足不等式（2a²+1）^-m＜（4-a）^-m的a的取值范围．

Answer 1

考点：幂函数的单调性、奇偶性及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：根据幂函数的性质即可得到结论．

解答： 解：∵幂函数y=x m2-2m-3（m∈N^*）在（0，+∞）上是减函数，
∴m²-2m-3＜0，解得-1＜m＜3，
∵m∈N^*，
∴m=1或2．
当m=1时，y=x^-4为偶函数满足条件，
当m=2时，y=x^-3为奇函数不满足条件，
则不等式等价为（2a²+1）^-1＜（4-a）^-1，
∵y=x^-1在（-∞，0）和（0，+∞）上都为减函数，
则2a²+1＞0，
则不等式等价为2a²+1＞4-a＞0，
解得1＜a＜4或a＜-

3

2

．

点评：本题主要考查不等式的求解，根据幂函数的性质求出幂函数的表达式是解决本题的关键．