Question

设函数f（x）=a-

6

2x+1

．
（1）若函数f（x）是奇函数，求实数a的值；
（2）求证：不论a为何实数，函数f（x）是增函数；
（3）若f（1）=2，求函数f（x）的值域．

Answer 1

考点：函数的值域,函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：本题（1）利用函数奇偶性的定义得到相应的恒等式，化简后，求出参数a的值；（2）利用函数单调性证明出函数是定义域上的增函数，得到本题结论；（3）根据条件f（1）=2，求出a的值，再利用指数函数的值域，求出原函数的值域，得到本题结论．

解答： 解：（1）由题意可知，f(x)+f(-x)=2a-

6

2x+1

-

6

2-x+1

=0，
∴a=

3

2x+1

+

3

2-x+1

=

3+3×2x

2x+1

=3，故a=3；
（2）由题意知，x∈R，
设x₁＜x₂，则f(x1)-f(x2)=

6(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

，
∵x₁＜x₂，∴2x1-2x2＜0，(2x1+1)(2x2+1)＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴不论a为何实数，函数f（x）是增函数；
（3）由f（1）=a-2=2可得，a=4，
∴f(x)=4-

6

2x+1

，
∵2^x＞0，∴2^x+1＞1，
故-

6

2x+1

∈(-6，0)，
∴f(x)=4-

6

2x+1

∈(-2，4)．

点评：本题考查了函数的奇偶性、单调性和函数的值域，本题难度不大，属于基础题．