题目内容
已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d＞0，其前n项和为Sn，数列{bn}是等比数列，且b1=a2，b2=a5，b3=a14．
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）若数列{cn}满足
+
+…+
=Sn（n∈N*），求数列{cn}的前n项和Tn．
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）若数列{cn}满足
| c1 |
| b1 |
| c2 |
| b2 |
| cn |
| bn |
考点：数列的求和,等差数列的性质
专题：等差数列与等比数列
分析：（1）由等比数列的性质结合b1=a2，b2=a5，b3=a14列式求得等差数列的公差，然后求出等比数列的公比，分别代入等差数列和等比数列的通项公式得答案；
（2）由
+
+…+
=Sn得到cn=an•bn．代入等差数列和等比数列的通项公式后利用错位相减法求数列{cn}的前n项和Tn．
（2）由
| c1 |
| b1 |
| c2 |
| b2 |
| cn |
| bn |
解答：
解：（1）由{bn}是等比数列，得b22=b1•b3，
即(a1+4d)2=(a1+d)(a1+13d)，整理得：2a1d=d2．
∵a1=1，公差d＞0，
∴d=2．
∴an=1+2（n-1）=2n-1．
b1=a2=3，b2=a5=9，
∴等比数列{bn}的公比q=3．
∴bn=3n；
（2）由
+
+…+
=Sn，得
+
+…+
=Sn-1 （n≥2）．
两式作差得：
=an(n≥2)．
∴cn=an•bn（n≥2）．
又
=a1，
∴c1=a1•b1．
∴cn=an•bn．
∴Tn=1×3+3×32+5×33+…+（2n-1）•3n．
3Tn=1×32+3×33+…+(2n-1)•3n+1．
两式作差得：-2Tn=3+2(32+33+…+3n)-(2n-1)•3n+1
=3+2×
-(2n-1)•3n+1．
∴Tn=3+(n-1)•3n+1．
即(a1+4d)2=(a1+d)(a1+13d)，整理得：2a1d=d2．
∵a1=1，公差d＞0，
∴d=2．
∴an=1+2（n-1）=2n-1．
b1=a2=3，b2=a5=9，
∴等比数列{bn}的公比q=3．
∴bn=3n；
（2）由
| c1 |
| b1 |
| c2 |
| b2 |
| cn |
| bn |
| c1 |
| b1 |
| c2 |
| b2 |
| cn-1 |
| bn-1 |
两式作差得：
| cn |
| bn |
∴cn=an•bn（n≥2）．
又
| c1 |
| b1 |
∴c1=a1•b1．
∴cn=an•bn．
∴Tn=1×3+3×32+5×33+…+（2n-1）•3n．
3Tn=1×32+3×33+…+(2n-1)•3n+1．
两式作差得：-2Tn=3+2(32+33+…+3n)-(2n-1)•3n+1
=3+2×
| 9(1-3n-1) |
| 1-3 |
∴Tn=3+(n-1)•3n+1．
点评：本题考查了等差数列和等比数列的通项公式，考查了错位相减法求数列的和，是中档题．
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