Question

已知函数f（x）=

3

2

sin2x+cos2x-

3

2

．
（I）求函数f（x）的最小正周期及在区间[0，

π

2

]的最大值
（Ⅱ）在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别是a，b，c，a=2，f（A）=-

1

2

，求△ABC周长L的最大值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质,解三角形

分析：（Ⅰ）首先根据三角函数的恒等变换，变换成正弦型函数，然后求出函数的最小正周期和最值．
（Ⅱ）先根据上面的结论，求出A的值，再利用正弦定理求出三角形的周长，最后根据取值范围确定最值．

解答： 解：（Ⅰ）∵f(x)=

3

2

sin2x+cos2x-

3

2

=

3

2

sin2x+

1+cos2x

2

-

3

2

=sin(2x+

π

6

)-1
所以f（x）最小正周期T=

2π

2

=π
∵x∈[0，

π

2

]∴2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]∴sin(2x+

π

6

)∈[-

1

2

，1]
∴f（x）最大值为0．
（Ⅱ） 由f(A)=-

1

2

得sin(2A+

π

6

)=

1

2

又∵

π

6

＜2A+

π

6

＜

13π

6

∴2A+

π

6

=

5π

6

∴A=

π

3

由正弦定理得

2

sin π 3

=

b

sinB

=

c

sinC

，即b=

4 3

3

sinB，c=

4 3

3

sinC，
所以b+c=

4 3

3

(sinB+sinC)
=

4 3

3

[sinB+sin(

2π

3

-B)]=4sin(B+

π

6

)
∵0＜B＜

2π

3

∴

π

6

＜B+

π

6

＜

5π

6

∴

1

2

＜sin(B+

π

6

)≤1（当且仅当B=C=

π

3

时取最大值）
∴b+c≤4，∴a+b+c≤6
所以L=6

点评：本题考查的知识要点：卅年函数关系式的恒等变换，正弦型函数的最小正周期，由函数的定义域确定函数的值域或最值，利用正弦定理求三角形的周长．